Cẩm nang công thức Lớp 12
Chọn chương để xem định nghĩa, định lí, công thức, phương pháp giải.
31 chủ đề
6 chương
Chương 2. Nguyên hàm. Tích phân
5 chủ đề
Nguyên hàm
- f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
- Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
- Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
- Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
- Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
- Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
- logₐ(xy) = logₐx + logₐy; logₐxⁿ = n·logₐx; đổi cơ số logₐx = lnx/lna.
- (eˣ)′ = eˣ; (lnx)′ = 1/x.
- a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
- Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
Tích phân
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
- ∫sinx dx = −cosx + C; ∫cosx dx = sinx + C; ∫(1/cos²x) dx = tanx + C.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- Khối chóp: V = ⅓·S_đáy·h. Khối lăng trụ: V = S_đáy·h.
- Khối hộp chữ nhật: V = a·b·c. Khối lập phương cạnh a: V = a³.
- Chóp S.ABC, M∈SA, N∈SB, P∈SC: V_{SMNP}/V_{SABC} = (SM/SA)(SN/SB)(SP/SC).
Phương pháp tính tích phân
- a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
- Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
- ∫sinx dx = −cosx + C; ∫cosx dx = sinx + C; ∫(1/cos²x) dx = tanx + C.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- Khối chóp: V = ⅓·S_đáy·h. Khối lăng trụ: V = S_đáy·h.
- Khối hộp chữ nhật: V = a·b·c. Khối lập phương cạnh a: V = a³.
- Chóp S.ABC, M∈SA, N∈SB, P∈SC: V_{SMNP}/V_{SABC} = (SM/SA)(SN/SB)(SP/SC).
Ứng dụng tích phân tính diện tích
- f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
- Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
- Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
- Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
- Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
- Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
- ∫sinx dx = −cosx + C; ∫cosx dx = sinx + C; ∫(1/cos²x) dx = tanx + C.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
Ứng dụng tích phân tính thể tích
- f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
- Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
- Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
- Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
- Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
- Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
- ∫sinx dx = −cosx + C; ∫cosx dx = sinx + C; ∫(1/cos²x) dx = tanx + C.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
Muốn luyện tập chủ đề này? Vào Ôn tập Lớp 12 để làm câu hỏi và xem lời giải.