Cẩm nang công thức Lớp 12
Chọn chương để xem định nghĩa, định lí, công thức, phương pháp giải.
31 chủ đề
6 chương
Chương 4. Phương pháp toạ độ trong không gian
8 chủ đề
Hệ toạ độ trong không gian
- AB→ = (xB−xA; yB−yA; zB−zA); AB = √(Σ(·)²).
- Tích vô hướng: a→·b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Tích có hướng [a→,b→] cho VTPT.
- Mặt phẳng: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, VTPT n→=(A;B;C).
- Đường thẳng qua M₀ VTCP u→=(a;b;c): x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.
- d(M,(P)) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).
- (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R², tâm I(a;b;c), bán kính R.
- Dạng khai triển x²+y²+z²−2ax−2by−2cz+d=0: R = √(a²+b²+c²−d).
Phương trình mặt phẳng
- a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
- Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- Diện tích xung quanh: S_xq = πrl. Thể tích: V = ⅓πr²h.
- S_xq = 2πrh; S_tp = 2πr(r + h); V = πr²h.
- Diện tích: S = 4πR². Thể tích khối cầu: V = (4/3)πR³.
- AB→ = (xB−xA; yB−yA; zB−zA); AB = √(Σ(·)²).
- Tích vô hướng: a→·b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Tích có hướng [a→,b→] cho VTPT.
- Mặt phẳng: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, VTPT n→=(A;B;C).
Phương trình đường thẳng
- a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
- Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- AB→ = (xB−xA; yB−yA; zB−zA); AB = √(Σ(·)²).
- Tích vô hướng: a→·b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Tích có hướng [a→,b→] cho VTPT.
- Mặt phẳng: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, VTPT n→=(A;B;C).
- Đường thẳng qua M₀ VTCP u→=(a;b;c): x=x₀+at, y=y₀+bt, z=z₀+ct.
- d(M,(P)) = |Ax₀+By₀+Cz₀+D|/√(A²+B²+C²).
- (x−a)² + (y−b)² + (z−c)² = R², tâm I(a;b;c), bán kính R.
Vị trí tương đối
- Hai đường thẳng: dựa vào hai VTCP và một điểm → song song, trùng, cắt hoặc chéo nhau.
- Đường thẳng & mặt phẳng: xét VTCP u và VTPT n — u·n = 0 (song song / nằm trong) hoặc cắt.
- Hai mặt phẳng: song song/trùng nếu hai VTPT cùng phương; cắt nếu không cùng phương.
- Mặt phẳng & mặt cầu: so d(I, (P)) với R → không cắt / tiếp xúc / cắt theo đường tròn.
Khoảng cách và góc
- Khoảng cách điểm đến mặt phẳng: d(M, (P)) = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²).
- Góc giữa hai mặt phẳng: cos φ = |n₁·n₂| / (|n₁|·|n₂|).
- Góc giữa hai đường thẳng: cos φ = |u₁·u₂| / (|u₁|·|u₂|).
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: sin φ = |u·n| / (|u|·|n|).
Phương trình mặt cầu
- a^{f(x)} = a^{g(x)} ⇔ f(x) = g(x); logₐf = logₐg ⇔ f = g > 0.
- Đặt ẩn phụ t = aˣ (t > 0) cho phương trình mũ dạng bậc hai.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- Diện tích xung quanh: S_xq = πrl. Thể tích: V = ⅓πr²h.
- S_xq = 2πrh; S_tp = 2πr(r + h); V = πr²h.
- Diện tích: S = 4πR². Thể tích khối cầu: V = (4/3)πR³.
- AB→ = (xB−xA; yB−yA; zB−zA); AB = √(Σ(·)²).
- Tích vô hướng: a→·b→ = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Tích có hướng [a→,b→] cho VTPT.
- Mặt phẳng: A(x−x₀)+B(y−y₀)+C(z−z₀)=0, VTPT n→=(A;B;C).
Bài toán ứng dụng nâng cao
- f′(x) > 0 trên K ⇒ f đồng biến; f′(x) < 0 ⇒ nghịch biến.
- Cực trị: f′ đổi dấu từ + sang − tại x₀ ⇒ cực đại; từ − sang + ⇒ cực tiểu.
- Tìm GTLN/GTNN trên [a;b]: so sánh f tại nghiệm f′=0 trong (a;b) và tại a, b.
- Tiệm cận đứng x = x₀ khi lim_{x→x₀} f = ±∞. Tiệm cận ngang y = L khi lim_{x→±∞} f = L.
- Hàm y=(ax+b)/(cx+d): TCĐ x=−d/c, TCN y=a/c, tâm đối xứng I(−d/c; a/c).
- Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- (a+bi) ± (c+di) = (a±c) + (b±d)i.
- (a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. z·z̄ = |z|².
Thể tích khối chóp
- Thể tích quay quanh Ox: V = π∫ₐᵇ [f(x)]² dx.
- ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1); ∫(1/x) dx = ln|x| + C.
- ∫eˣ dx = eˣ + C; ∫aˣ dx = aˣ/lna + C.
- ∫sinx dx = −cosx + C; ∫cosx dx = sinx + C; ∫(1/cos²x) dx = tanx + C.
- Tích phân từng phần: ∫u dv = uv − ∫v du.
- Đổi biến số: đặt t = u(x), dt = u′(x)dx.
- Diện tích hình phẳng: S = ∫ₐᵇ |f(x) − g(x)| dx.
- Quãng đường: s = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt.
- Khối chóp: V = ⅓·S_đáy·h. Khối lăng trụ: V = S_đáy·h.
- Khối hộp chữ nhật: V = a·b·c. Khối lập phương cạnh a: V = a³.
- Chóp S.ABC, M∈SA, N∈SB, P∈SC: V_{SMNP}/V_{SABC} = (SM/SA)(SN/SB)(SP/SC).
Muốn luyện tập chủ đề này? Vào Ôn tập Lớp 12 để làm câu hỏi và xem lời giải.